一个神秘现象后面的秘密──RND指令执行出错的原因分析

网友ktissot在用下面3条指令将浮点数转换为双整数时，发现了一个神秘的现象。
L  MD0
RND     //浮点数四舍五入
T   MD4
我们知道，最大的正的双整数是2147483647，大于这个数，RND指令转换会出错。
但是他的帖子说实际上能转换的最大的浮点数不是2147483647.0，而是2147483583.0。
这一段本应正常转换的区间转换会出错，为什么转换出错的分界点是2147483583.0，这里面隐藏了什么秘密？
这件事引起我极大的兴趣，为此我用仿真做了大量的实验，下面是我做实验发现的更多的现象：
1．转换出错的情况
RND指令的帮助中说：“如果超出允许范围，则状态位OV和OS被置位为1。结果存在累加器1中”。“出现错误(使用了不能表示为32位整数的NaN或浮点数)时不执行转换并显示溢出。”。
下图用程序状态监控状态字STATUS WORD。
大于2147483647.0时转换出错。
大于2147483584.0到2147483647.0这一段照理说在应该在能转换的范围里，但是转换也会出错，状态字的OV和OS位（第4、5位）被置位为1（见下图）。MD4中是没有转换的浮点数，而不是双整数。转换出错的分界点是2147483584.0。

2．转换成功的情况
小于16777215.0左右转换结果完全正确。转换成功时OV和OS为0。
小于2147483584.0到16777215.0这一段可以转换，但是转换有误差。
接近2147483584.0时，最大误差为64。
大于2147483456.0 ~ 2147483584.0时(区间范围为128.0)，转换后得到的双整数均为2147483520（16#7FFF FF80，见下图）。转换结果2147483520是区间中点的值，（2147483456 + 2147483584）/2= 2147483520。
大于2147483328.0 ~ 2147483456.0时，转换后得到的双整数均为2147483392（16#7FFF FF00）。
大于2147483200.0 ~ 2147483328.0时，转换后得到的双整数均为2147483264（16#7FFF FE80）。
经过分析，我已经找到了上述现象的原因，结果暂不公布，希望有兴趣的网友一起来分析一下，共享解决问题的快乐。

下面给出我观察到的现象的分析：
1．转换结果分析
大于2147483456.0 ~ 2147483584.0时转换后得到2147483520（16#7FFF FF80）。
大于2147483328.0 ~ 2147483456.0时转换后得到2147483392（16#7FFF FF00）。
大于2147483200.0 ~ 2147483328.0时转换后得到2147483264（16#7FFF FE80）。
上述3个区间内部的间隔为128.0，转换结果为区间的中点（2147483456 + 2147483584）/2= 2147483520。
所以这种转换并不精确，最大误差为128/2=64。

浮点数转换为双整数的转换误差的根本原因是32位浮点数和32位双整数的有效位数的差异造成的。
浮点数由一位符号位、8位指数和尾数的小数部分（23位）组成。尾数的位数决定了浮点数的精度。尾数的整数部分为1，小数部分为23位，所以尾数的有效数字为24位。
双整数除去一位符号位，其有效位数为31位，因此浮点数的有效位数比双整数少7位。
2147483456.0 ~ 2147483584.0相差128.0，它们对应的整数为31位有效数字，这些浮点数输入PLC后，因为浮点数的有效位数只有24位，它们的尾数相同，对应的十六进制表示的浮点数均为16#4EFF FFFF，或2.17484e+009（注意有效尾数为十进制7位，而不是对应的整数的10位）。所以转换为双整数后均为2147483520。
ktissot网友说：“这就像看一片湖水一样，你可以看到水和浪花，但是绝对看不到水分子。”由于有效位数较小，浮点数不能分辨“水分子”2147483457.0 ~ 2147483584.0，我们只能看到“浪花”2147483520（16#7FFF FF80）。
如果浮点数较小，例如小于16777215（16#FF FFFF），整数部分只有24位，转换后就没有上述的误差了。在此基础上增大，整数部分的位数越大，误差越大。
因为有效位数相差7位，在接近双整数最大值的区段，浮点数的尾数相差一个数时，转换为双整数后，相差128。2的7次方等于128。

2．高端转换出错的原因分析
为什么最高端大于2147483584.0的数不能正确地转换呢？请注意小于2147483648.0到大于2147483584.0这段范围刚好是64.0（128.0的一半）。RND指令在转换时将这段范围的尾数四舍五入后，尾数的最低位加1，相当于转换后的整数加128（16#80），由上述的16#7FFF FF80（2147483520）加16#80后变为16#8000 0000，超出了双整数整数的允许范围，产生了溢出，所以转换出错。