（转）一种从代数式到微分式的快速变换法

我研究数学分析（微积分）以来，有那么一点心得，一直想写出来，帮助初学者，以跨过那些难懂的书籍，以掌握微积分，以产生生产力。

让我们把概念抛弃，先把玩法弄会，把玩法弄熟，最后再学习基本理论。
本方法能从代数式一步过渡到微分式，只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。

先从最简单的一元一次方程式开始。
y = 2x                      （1）
我们将 y 替换成 y+dy ， 将 x 替换成 x+dx，于是上式变换成：
(y+dy) = 2(x+dx)      （2）
（2）-（1）得：
dy = 2dx                  （3）
上面这个（3）式就是（1）式的微分式。快吧？将dx从右边挪到左边就变成：
dy/dx =  2 = y'           （4）
上面的（4）式就是（1）式的导数式，导数就是这么求来的。

下面再来看一元二次方程：
y=x^2                      （5）
做替换，y→y+dy，x→x+dx，得：
(y+dy) = (x+dx)^2    
展开得：
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
（6）-（5）得：
dy = 2x*dx + dx^2     （7）
这里介绍一个关键，微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”，而dx^2属于二阶“无穷小”，二者相加，高阶者略去，所以：
dy = 2x*dx                （8）
dy/dx = 2x = y'          （9）
上面的第（9）式就是（5）式的导数式。

下面看二元一次方程：
z = xy                      （10）
做替换z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
展开得：
z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
（12）-（10）得：
dz = xdy + ydx + dxdy（13）
看上式，又出现了高阶“无穷小”，可以略去，所以：
dz = xdy + ydx          （14）
上式即为（10）式的微分式。

最后再举一个例子，关于流体的连续性有一个式子：
ρvA = C（常数）
书上说先两边取对数，然后再两边微分，得：
dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
用我的方法，不用无中生有去微分，一样得出这个式子，先做替换得：
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
展开得：
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
减去第一个式子，再略去二阶及三阶无穷小，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
两边同除以ρvA，就跟上面一样了。

总结一下，第一步替换，第二步相减，第三步“略去高阶无穷小”，成功！
任何方程式都可以这么干，不涉及极限和无穷等概念，轻松学会微分变换。