渐开线插补相关标题标探究_171

渐开线插补相关标题标探究  
现有cnc机床加工渐开线廓形需议决直线或圆弧拟合来实现，步骤段多并且精度低。王启民的《数字积分法渐开线插补原理》和郭崇善的《极径渐开线插补原理》在参数方程、数字积分根本思维的根本上，切磋了直接举行渐开线插补的相关算法。本文在此根本上发起变步长渐开线插补的根本思维，旨在包管肯定的进给速率和精度。
1 基来历根本理
如图1所示，渐开线基圆半径为R，动点P(x,y)参数方程为         x=Rcosq+Rqsinq   y=Rsinq-Rqcosq     (1)    
设待插补线段为Po～Pe，插补肇始点参数θo，对应动点坐标xm=xo,ym=yo,插补尽头坐标xe,ye。
   

图1     当参变量θ有一微小增量Δθ时，x,y值亦有相应变化Δx=x-xm，Δy=y-ym。设脉冲当量为δ，当Δθ充足小时，总能包管max(|Δx|，|Δy|)≤δ。创建累加余数寄存器Δxs,Δys，初始时Δxs=Δys=0，θ=θ0，当连续累加Δθ，即θ=θ+Δθ时，相应Δx，Δy及Δxs=Δxs+Δx，Δys=Δys+Δy亦随之变化。以x轴为例，终极总有Δxs≥δ，这时向x轴进给一步，同时调解动点坐标值xm=xm+δ，修正余数寄存器Δxs=Δxs-δ，对y轴亦同理。连续上述进程即θ=θ+Δθ，再由式(1)得x,y，求Δx=x-xm，Δy=y-ym，再求Δxs,Δys，若Δxs≥δ或Δys≥δ，则向相应轴进给一步，修正相应动点坐标值及累加余数寄存器值，直至xm=xe，y=ye，插补完成。 由条件max(|Δx|,|Δy|)≤δ可确保每次插补任一轴方向最多进给一个脉冲当量，从而使插补偏差控制在一个δ之内。显然Δθ取值越小，该条件越容易包管，但Δθ太小时大概出现累加多次θ+Δθ仍无进给脉冲出现的环境，影响进给速率。希看Δθ的取值能包管每一次或两次累加即有一次进给脉冲产生。标题回结到步长Δθ的取值最优化。由式(1)可见，当R、θ值差别时，同样Δθ将对应差别的Δx、Δy，即Δθ取常量很难同时餍足进给速率及插补精度要求。为此，思考采取变步长，即取Δθ为变量。具体说，每次插补谋划θ+Δθ及Δx、Δy时，如有Δx≥2δ或Δy≥2δ，则阐明Δθ太大，令Δθ=Δθ/2，重算；别的记录得到一个进给脉冲的插补次数n，若n≥3时才出现Δx≥δ或Δy≥δ，则阐明Δθ太小，在完资本次进给及相应坐标调解，累加余数寄存器修正后取Δθ=2Δθ，再连续插补。总之，随时调解Δθ值以包管插补进程处于最佳状态。
  [img]http://e-cuttech.com/images/qdkh.gif" width="11" alt="" /> x=Rcosq+R(q+θT)sinq   y=Rsinq-R(q+θT)cosq     (2)    
圆弧A′B′中央坐标已知为x1,y1，半径R1，令l=R1+r，则圆弧A′B′方程为    (x-x1)2+(y-y1)2=l2 (3)    
式中x、y以式(2)代进，可得B′点对应的θ值。然而以平凡要领直接求解式(3)很困难，何况另有2个根的弃取标题。因此思考数值解法。

   
[img src="http://img.hc360.com/mt/info/images/200611/200611292.GIF[/img]
图3      创建函数F(θ)=(x-x1)2+(y-y1)2-l2，此中x、y以式(2)代进。再令f(θ)=[F(θ)]2，则标题转化为一维搜罗求取f(θ)极小点。平常说来，圆弧与渐开线交点大概有1～3个，因而务必最终确定真实解地点的单峰区间。分析导数f′(θ)，经整理可得 f′(θ)=2F(θ)2R(θ+θT)[R-(cosθx1+sinθy1)]由于f′(θ)性态取决于R、x1、y1等参数，要切磋其单调区间，凸凹性、驻点、极小点等很困难，因而要利用其导数来确定单峰区间及搜罗极小点存在肯定标题。为此采取“进退法”，只涉及函数值而不消导数。而搜罗初始点可由实际形状线交点B及其对应的θ角来确定。确定真实解地点的单峰区间[a，b]后，可用“黄金分裂”法求得真实解。限于篇幅，具体步骤不再赘述。
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